2) La maîtrise de l’infini
L’Homme est hanté par des questions métaphysiques telles que « D’où venons-nous ? Où allons-nous ? Le monde est-il fini ? Infini ? » ou encore « Qu’y a-t-il après la mort ? Quel est le but de la vie ? »…
Faute de trouver des réponses, on cherche à ignorer la question. Les échecs constituent un exutoire à ces questions obsédantes, et modélisent en particulier la maîtrise de l’infini. En effet, un échiquier ne prend pas plus d’un mètre carré de surface, et ne contient que soixante-quatre misérables cases réparties sur huit lignes et huit colonnes, prisonnières d’un cadre en bois. Cependant, les positions, les parties et les combinaisons possibles sont innombrables… Mieux vaut en tout cas les considérer infinies que de chercher à les dénombrer.
Néanmoins des mathématiciens émérites se sont attelés à cette tâche, comme le Russe Yakov Perelman (1882-1942), qui donna une estimation du nombre de parties qu’il est possible de jouer. Cette estimation n'est pas vraiment rigoureuse, puisque Perelman ne se fonde que sur une succession d’arrondis. Il propose le calcul suivant.
Une partie dure en moyenne quarante coups (un coup étant effectué quand les deux joueurs ont chacun déplacé une pièce). Au premier coup, chaque joueur a 20 possibilités (2 déplacements possibles pour chacun des 8 pions, et 2 pour chacun des 2 cavaliers). Ce qui donne en tout combinaisons différentes pour le premier coup. Pour simplifier, on dira qu’il y a 400 combinaisons valides pour les 5 premiers coups. Autrement dit, au bout du cinquième coup il y aura eu combinaisons différentes. Pour les 35 coups restants, étant donné que le jeu se sera bien ouvert, chaque joueur aura 30 déplacements possibles en moyenne à sa disposition. Donc, au bout de ces 35 derniers coups, on aura pu jouer combinaisons. Finalement, c’est une partie parmi qui aura été jouée…
Ce nombre est énorme. D'ailleurs une calculatrice graphique ne saurait le calculer. En utilisant un puissant langage informatique (Python), on découvre qu’il est égal à 25031555049932416013155719860858490000000000000000000000 000000000000000000000000000000000010240000000000.
Simplifions ce nombre, par un jeu de manipulation de puissances :
Donc selon Perelman, il existe 2x10116 parties possibles !
Plus récemment, d’autres mathématiciens, notamment Shannon, ont tenté de calculer ce nombre avec plus de précision. On l’estime aujourd’hui à 10123. Par comparaison, selon la physique actuelle, le nombre d’atomes dans l’univers ne dépasserait pas 1080.
Jorge Luis Borges, grand poète argentin, évoque en deux sonnets l'«infinitude » du jeu d'échecs.
Le jeu d'échecs
I
Impassibles dans leur coin, les joueurs Guident les lentes pièces. Une guerre Jusqu’à l’aube les retient au sévère Damier où se détestent deux couleurs.
Du centre rayonnent de magiques rigueurs : La tour homérique, l’agile cheval, La reine écrasante, le roi final, Le fou oblique et les pions accrocheurs.
Quand les joueurs se seront retirés, Quand le siècle les aura consumés, Le rite ne sera pour autant accompli.
C’est en Orient que s’alluma cette guerre. Désormais pour théâtre elle a toute la terre Car ce jeu, comme l’Autre, est infini.
II
Tous : roi débile, fou diagonal, reine Acharnée, tour directe et pions rusés, Par le noir et le blanc de leur trajet Cherchent et livrent leur bataille concertée.
Ils ne savent pas l’évidente main Du joueur qui dirige leur destin ; L’inflexible et transparente rigueur Qui pour eux choisit et mesure le chemin.
Le joueur, à son tour, se trouve prisonnier (Omar l’a dit) des cases d’un autre échiquier Où les nuits sont les noires et les jours les blanches.
Dieu meut le joueur et le joueur, la pièce. Quel dieu, derrière Dieu, commence cette trame De poussière et de temps, de rêves et de larmes ?
(traduit de l’espagnol par Roger Caillois)
La mise en abyme qui termine le deuxième sonnet donne au jeu d’échecs toute sa dimension métaphysique.
Les échecs sont l’un des rares divertissements inventés par l’Homme, mêlant science et métaphysique ; ils symbolisent l’infini inclus dans le fini… Paradoxe mathématique ?
